%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 1
\newcommand{\DRA}{
习题1. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶正定矩阵，设 
$\alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n)$, %\quad 
$\beta = (y_1, y_2, \cdots, y_n)$, 
在 \( \mathbb{R}^n \) 中定义内积为 
$ (\alpha, \beta) = \alpha A \beta^t. $

(1) 证明：在这个定义之下，\( \mathbb{R}^n \) 成为一个欧氏空间；

(2) 求单位向量 $e_1 = (1, 0, \cdots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \cdots, 0)$, $\cdots$, $e_n = (0, 0, \cdots, 1)$ 的度量矩阵；

(3) 具体写出这个空间中的柯西-布尼亚科夫斯基不等式。
}


\newcommand{\DRAa}{
设 \( A=\begin{pmatrix}2&3 \\ 3&6 \end{pmatrix} \). 
设 $\alpha = (x_1, x_2)$, $\beta = (y_1, y_2)$, 在 \( \mathbb{R}^2 \) 中定义内积为 $ (\alpha, \beta) = \alpha A \beta^t$. 
\begin{enumerate}
\item  证明：在这个定义之下，\( \mathbb{R}^2 \) 成为一个欧氏空间。
\item  求这个内积在一组基 $(1,1),(0,1)$ 下的度量矩阵。
\item  写出这个欧氏空间中的柯西不等式。
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 2
\newcommand{\DRB}{
习题2. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求 \( \alpha, \beta \) 之间的夹角 \( \langle \alpha, \beta \rangle \)（内积按通常定义）。设

(1) \( \alpha = (2, 1, 3, 2),\,\, \beta = (1, 2, -2, 1); \)

(2) \( \alpha = (1, 2, 2, 3),\,\, \beta = (3, 1, 5, 1); \)

(3) \( \alpha = (1, 1, 1, 2),\,\, \beta = (3, 1, -1, 0). \)
  
}

\newcommand{\DRBa}{
在欧氏空间 \( \mathbb{R}^3 \) 中，内积按通常定义。求向量 \( \alpha=(3,1,5), \beta=(5,2,1) \) 之间的夹角。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 3
\newcommand{\DRC}{
习题3. \( d(\alpha, \beta) = \lvert\alpha - \beta\rvert \) 通常称为 \( \alpha \) 与 \( \beta \) 的距离，证明：
\( d(\alpha, \gamma) \leq d(\alpha, \beta) + d(\beta, \gamma). \)
}

\newcommand{\DRCa}{
在实系数多项式全体组成的线性空间  \( \mathbb{R}[x] \) 中，内积按 $(f,g)=\int_0^1f(x)g(x)dx$ 定义。\\ 
求向量 \( \alpha=1+x\) 与 \(\beta=x^2+x^3 \) 之间的距离。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 4
\newcommand{\DRD}{
习题4. 在 \( \mathbb{R}^4 \) 中求一单位向量与 $(1, 1, -1, 1)$, $(1, -1, -1, 1)$, $(2, 1, 1, 3)$ 正交。
}

\newcommand{\DRDa}{
在 \( \mathbb{R}^3 \) 中求一个单位向量与向量 $(1, 1, 1)$、 $(1, 2, 4)$ 正交。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 5
\newcommand{\DRE}{
习题5. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \) 是欧氏空间 \( V \) 的一组基，证明：

(1) 如果 \( \gamma \in V \) 使 \( (\gamma, \alpha_i) = 0 \ (i = 1, 2, \cdots, n) \)，那么 \( \gamma = 0; \)

(2) 如果 \( \gamma_1, \gamma_2 \in V \)，对任一 \( \alpha \in V \)，有 \( (\gamma_1, \alpha) = (\gamma_2, \alpha) \)，那么 \( \gamma_1 = \gamma_2. \)
}

\newcommand{\DREa}{
设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是欧氏空间 \( V \) 的一组基，设 \(\xi,\eta\in V\). 
证明：如果下述三个等式成立，那么 \( \eta_1 = \eta_2\). 
\begin{eqnarray*}
(\xi, \alpha_1) &=& (\eta, \alpha_1), \\ 
(\xi, \alpha_2) &=& (\eta, \alpha_2), \\  
(\xi, \alpha_3) &=& (\eta, \alpha_3).
\end{eqnarray*}

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 6
\newcommand{\DRF}{
设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 是三维欧氏空间中的一组标准正交基，
证明下述向量组也是一组标准正交基，
\begin{eqnarray*}
\alpha_1 = \frac{1}{3} (2 \varepsilon_1 + 2 \varepsilon_2 - \varepsilon_3), \quad 
\alpha_2 = \frac{1}{3} (2 \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + 2 \varepsilon_3), \quad  
\alpha_3 = \frac{1}{3} (\varepsilon_1 - 2 \varepsilon_2 - 2 \varepsilon_3). 
\end{eqnarray*}
}

\newcommand{\DRFa}{
设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2\) 是欧氏空间 $V$ 中的一组标准正交基，
证明下述向量组也是 $V$ 的一组标准正交基，
\begin{eqnarray*}
\alpha_1 = \frac{1}{13} (5\varepsilon_1 + 12 \varepsilon_2), \quad 
\alpha_2 = \frac{1}{13} (12 \varepsilon_1 - 5\varepsilon_2). 
\end{eqnarray*}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 7
\newcommand{\DRG}{
习题7. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4, \varepsilon_5 \) 是 5 维欧氏空间 \( V \) 的一组标准正交基，设 
\[
\begin{cases}
\alpha_1 = \varepsilon_1 + \varepsilon_5, \\ %\quad 
\alpha_2 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_4, \\ %\quad \
\alpha_3 = 2\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3. 
\end{cases}
\]
求 \( V_1 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \) 的一组标准正交基。
}

\newcommand{\DRGa}{
在欧氏空间 \( \mathbb{R}^3 \) 中，求子空间 \( L(\alpha_1, \alpha_2) \) 的一组标准正交基，其中
$\alpha_1 = (1,3,5), \alpha_2 = (2,4,6)$. 
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 8
\newcommand{\DRH}{
习题8. 求齐次线性方程组的解空间（作为 \( \mathbb{R}^5 \) 的子空间）的一组标准正交基，
\[
\begin{cases} 
2x_1 + x_2 - x_3 + x_4 - 3x_5 = 0, \\ 
x_1 + x_2 - x_3 + x_5 = 0. 
\end{cases}
\]

}

\newcommand{\DRHa}{
在欧氏空间 \( \mathbb{R}^4 \) 中，求下述齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基，
\[
\begin{cases} 
x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0, \\ 
x_1 + x_2 + 3x_3 +4x_4 = 0. 
\end{cases}
\]

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 9
\newcommand{\DRI}{
习题9. 在 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 中定义内积如下，求 \( \mathbb{R}[x]_4 \) 的一组标准正交基（由基 \( 1, x, x^2, x^3 \) 出发作正交化）， $$ (f,g) = \int_{-1}^1 f(x)g(x)dx. $$ 
}

\newcommand{\DRIa}{
在次数小于等于2的实系数多项式全体组成的线性空间 \( V=\mathbb{R}[x]_2 \) 中，
内积由 $(f,g) = \int_0^1 f(x)g(x)dx$ 定义。 
从一组基 \( 1, x, x^2\) 出发，使用斯密特正交化，求 \( V \) 的一组标准正交基。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 10
\newcommand{\DRJ}{
习题10. 设 \( V \) 是一个 $n$ 维欧氏空间，\( \alpha \neq 0 \) 是 \( V \) 中一固定向量。

(1) 证明：\( V_1 = \{ \xi \in V \mid (\xi, \alpha) = 0\} \) 是 \( V \) 的一个子空间；

(2) 证明：\( V_1 \) 的维数等于 \( n-1 \). 
}

\newcommand{\DRJa}{
设 \( \alpha,\beta \) 是维欧氏空间 \( V \) 中的向量。 
证明：\( W = \{ \xi \in V \mid (\xi, \alpha) = 0, (\xi, \beta) = 0\} \) 是 \( V \) 的线性子空间。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 11
\newcommand{\DRK}{
习题11. (1) 证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的；

(2) 利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
}

\newcommand{\DRKa}{
设欧氏空间 $V$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 下的度量矩阵是 
$A=\begin{pmatrix}1&2 \\ 2&5 \end{pmatrix}$. 
求这个欧氏空间在另一组基\\ $\eta_1=\varepsilon_1+\varepsilon_2, \eta_2=\varepsilon_1-2\varepsilon_2$ 下的度量矩阵。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 12
\newcommand{\DRL}{
习题12. 设 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中的一组向量，而
\[
\Delta = 
\begin{pmatrix}
(\alpha_1, \alpha_1) & (\alpha_1, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_m) \\
(\alpha_2, \alpha_1) & (\alpha_2, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_2, \alpha_m) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_m, \alpha_1) & (\alpha_m, \alpha_2) & \cdots & (\alpha_m, \alpha_m)
\end{pmatrix}. 
\]
证明：当且仅当 \(|\Delta| \neq 0\) 时，\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\) 线性无关。
}

\newcommand{\DRLa}{
设 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 是欧氏空间 \(V\) 中的一个线性相关的向量组，证明
\[
\begin{vmatrix}
(\alpha_1, \alpha_1) & (\alpha_1, \alpha_2) & (\alpha_1, \alpha_3) \\
(\alpha_2, \alpha_1) & (\alpha_2, \alpha_2) & (\alpha_2, \alpha_3) \\
(\alpha_3, \alpha_1) & (\alpha_3, \alpha_2) & (\alpha_3, \alpha_3) \\
\end{vmatrix} =0. 
\]
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 13
\newcommand{\DRM}{
习题13. 证明：上三角形的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素为 1 或 $-1$. 
}

\newcommand{\DRMa}{
形如 $A=\begin{pmatrix} a&b&c \\ d&e&0 \\ f&0&0\end{pmatrix}$ 的正交矩阵一共有多少个？
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 14
\newcommand{\DRN}{
习题14. (1) 设 \(A\) 为一个 \(n\) 阶实矩阵，且 \(|A| \neq 0\)，证明 \(A\) 可分解成 \( A = QT\), 
其中 \(Q\) 是正交矩阵，\(T\) 是上三角形矩阵，即
\[
T =
\begin{pmatrix}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1n} \\
0 & t_{22} & \cdots & t_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & t_{nn}
\end{pmatrix},
\]
且对角线元素都大于零，即 
\(t_{ii} > 0 \ (i=1,2,\cdots,n)\), 
并证明这个分解是唯一的；

(2) 设 \(A\) 是 \(n\) 阶正定矩阵，证明存在一个上三角形矩阵 \(T\), 使 \( A = T^t T. \)

}

\newcommand{\DRNa}{
求正交矩阵 $Q$ 以及实数 $a,b,c$ 使得 
\(
Q\begin{pmatrix}1&-2\\ 3&3 \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix}a&b\\ 0&c \end{pmatrix}. 
\)
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 15
\newcommand{\DRO}{
习题15. 设 \(\eta\) 是 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 中的一个单位向量，定义变换 \(\mathcal{A}: 
\mathcal{A} \alpha = \alpha - 2(\eta, \alpha) \eta. \) 
证明：

(1) \(\mathcal{A}\) 是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；

(2) \(\mathcal{A}\) 是第二类的；

(3) 如果 \(n\) 维欧氏空间中，正交变换 \(\mathcal{B}\) 以 1 作为一个特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 \(V_1\) 的维数为 \(n-1\)，那么 \(\mathcal{B}\) 是镜面反射。
}

\newcommand{\DROa}{
设 \(\eta=(1,1,0)\in\mathbb{R}^3\). 
定义变换 \(\mathcal{A} \alpha = \alpha - (\eta, \alpha) \eta. \) 
\begin{enumerate}
\item  写出 \(\mathcal{A}\) 在标准基 \(\varepsilon_1=(1,0,0), \varepsilon_2=(0,1,0), \varepsilon_3=(0,0,1)\) 下的矩阵。
\item  证明 \(\mathcal{A}\) 是正交变换。
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 16
\newcommand{\DRP}{
习题16. 证明：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
}

\newcommand{\DRPa}{
求反对称矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&2&0\\ -2&0&-3 \\ 0&3&0 \end{pmatrix}$ 的所有复数特征值。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 17
\newcommand{\DRQ}{
习题17. 求正交矩阵 \(T\)，使 \(T^t AT\) 成对角形，其中 \(A\) 为
\[
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0 \\
-2 & 1 & -2 \\
0 & -2 & 0 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 5 & -4 \\
-2 & -4 & 5 
\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 4 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
4 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 4 & 0 & 0 
\end{pmatrix}.
\]
%\[
%\begin{pmatrix}
%-1 & -3 & 3 & -3 \\
%-3 & -1 & -3 & 3 \\
%3 & -3 & -1 & -3 \\
%-3 & 3 & -3 & -1 
%\end{pmatrix}, \quad
%\begin{pmatrix}
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 \\
%1 & 1 & 1 & 1 
%\end{pmatrix}.
%\]

}

\newcommand{\DRQa}{
求正交矩阵 \(T\) 使  
$ 
T^{-1}
\begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
2 & 5 & -4 \\
-2 & -4 & 5 
\end{pmatrix}
T
=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c 
\end{pmatrix} 
$
为对角阵。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 18
\newcommand{\DRR}{
习题18. 用正交线性替换化下列二次型为标准形：

(1) $ x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3 $;

(2) $ x_1^2 - 2x_2^2 - 2x_3^2 - 4x_1x_2 + 4x_1x_3 + 8x_2x_3 $;

(3) $ 2x_1x_2 + 2x_3x_4 $;

(4) $ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 - 2x_1x_2 + 6x_1x_3 - 4x_1x_4 - 4x_2x_3 + 6x_2x_4 - 2x_3x_4 $.
}

\newcommand{\DRRa}{
用正交线性替换，把二次型 $f(x,y)=2x^2+4xy+5y^2$ 化为标准形，即只含平方项。

}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 19
\newcommand{\DRS}{
习题19. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实对称矩阵，证明：$ A $ 正定的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全大于零。
}

\newcommand{\DRSa}{
设 $A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\  2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$ 是正定矩阵，求实数 $a,b$ 的取值范围。
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 20
\newcommand{\DRT}{
习题20. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实矩阵，证明：存在正交矩阵 $ T $，使 $ T^{-1}AT $ 为三角形矩阵的充分必要条件是 $ A $ 的特征多项式的根全是实的。
}

\newcommand{\DRTa}{
求正交矩阵 $T$，使 $T^{-1}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}T 
= \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}$ 为上三角矩阵。
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\DRU}{
习题21. 设 $ A, B $ 都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 $ T $，使 $ T^{-1}AT = B $ 的充分必要条件是 $ A, B $ 的特征多项式的根全部相同.
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 21
\newcommand{\DRUa}{
根据实对称矩阵一定正交相似于实对角矩阵的结论，
证明：如果实对称矩阵 $A, B$ 的特征多项式的根全部相同，那么存在正交矩阵 $T$，使 $T^{-1}AT = B$. 
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 22
\newcommand{\DRV}{
习题22. 设 $ A $ 是 $ n $ 阶实对称矩阵，且 $ A^2 = A $，证明：存在正交矩阵 $ T $，使
$$
T^{-1}AT =
\begin{pmatrix}
1 & & & & & & \\
& 1 & & & & & \\
& & \ddots & & & &\\
& & & 1 & & &\\
& & & & 0 & & \\
& & & & & \ddots &\\
& & & & & & 0
\end{pmatrix}.
$$
}

\newcommand{\DRVa}{
设 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ 且 $ A^2 = A, R(A)=1$. 证明存在正交矩阵 $ T $，使
$ T^{-1}AT = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \\ \end{pmatrix}.$
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 23
\newcommand{\DRW}{
习题23. 证明：如果 $ \mathcal{A} $ 是 $ n $ 维欧氏空间的一个正交变换，那么 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间的正交补也是 $ \mathcal{A} $ 的不变子空间。
}

%\item % 23
\newcommand{\DRWa}{
设 $ \mathcal{A} $ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 的一个正交变换。
\begin{enumerate}
\item  证明 $1$ 或 $-1$ 是 $A$ 的一个特征值。
\item  求 $A$ 的一维不变子空间与二维不变子空间。
\end{enumerate}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item % 24
\newcommand{\DRXa}{
用正交线性替换，把二次曲面的方程 $2x^2-4xy+y^2-4yz=1$ 化为标准方程，即未知数只含有平方项。
}



